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   Potencias com expoente racional

   

 No artigo de hoje veremos qual o significado da representação de potência racional onde a^q , com a positivo e p = m/n é um número racional, m ∈ Z , n ∈ Z^* , de modo que a propriedade fundamental vista nos tópicos anteriores continue válida.

O conjunto dos números racionais  é formado por todos os números que podem ser escritos na forma  m/n , onde m é um número inteiro qualquer e n um número inteiro qualquer diferente de zero.  É indicado pela letra maiúscula Q, e representado da seguinte forma:

Q = {x | x = m/n, m ∈ Z , n ∈Z^*} 

De modo geral, baseando-se na propriedade fundamental, temos:  a^p .a^q = a^p+q , deste modo, fazendo p = 1/n , teremos :

Vejamos alguns exemplos:

Do mesmo modo anterior, preservando a propriedade fundamental, e fazendo p = m/n, teremos:

Vejamos exemplos da definição acima:

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  Simplificando expressoes com radicais

 

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   Racionalização de denominadores

Considere a fração:  que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por  , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente   possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

  

  é o fator racionalizante de  , pois  .  =  = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

 é o fator racionalizante de 

  é o fator racionalizante de 

  é o fator racionalizante de 

    é o fator racionalizante de 

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     Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:

 ou 

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

 , com a  R,m,n,  N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

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RADICAIS

A raiz de índice par de um número não-negativo é um número real não-negativo.

A raiz de um radical de índice ímpar tem o mesmo sinal do radicando.

Potência com expoente fracionária: relacionando radiciação com potenciação.

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não-nulo, temos:

Propriedades dos radicais
1ª propriedade:

Para os radicais de índice n de uma potência com expoente também igual a n temos:

se n é um número natural ímpar, então:sendo a um número real;

se n é um número natural par não-nulo, então:com a um número real.

2ª propriedade:

Dividindo-se o índice e o expoente do radicando por um mesmo número natural maior que zero, o valor do radical não se altera, ou seja:

1. sendo a um número real positivo, m um número inteiro, n um número natural não-nulo e p divisor de m e n.

2. Essa propriedade permite simplificar certos radicais, isto é, transformá-lo em outros radicais mais simples e equivalentes aos radicais dados.

3ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um produto , com a e b números reais positivos, é igual ao produto dos radicais de mesmo índice n dos fatores (a e b) do radicando, ou seja:


4ª propriedade:

O radical de índice natural não-nulo n de um quociente , com a e b números reais positivos, é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice n dos termos a e b do radicando, ou seja:
1. Essas propriedades permitem simplificar certos radicais, tirando fatores do radicando.
2. Da mesmo forma que podemos tirar fatores do radicando, podemos fazer o inverso, ou seja, introduzir fatores externos no radicando. Veja os exemplos:


Observações:

Não se pode somar nem subtrair radicais diferentes. Imagine as raízes como letras.

Letras iguais: podem ser somadas ou subtraídas, divididas ou multiplicadas. Letras diferentes se podem apenas ser divididas ou multiplicadas uma pelas outras:

Analogamente ao que acontece com os radicais: É impossível fazer: x + y ou x – y, mas é possível fazer: xy e x/y ou ainda x + x = 2x e x – x = 0.

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 1. Quadilateros  

   Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°. Assim como qualquer outro polígono, podemos usar a fórmula: Si = (n - 2)180 (onde "n" representa o número de lados); para achar a soma dos ângulos internos (Si). Veja o exemplo com um quadrilátero: Si = (4 - 2)180º Si = (2)180º Si = 360º

 2.

Principais Características

Os quadriláteros apresentam os seguintes elementos:

• Vértices
• Lados
• Diagonais
• Ângulos internos e externos

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos. Veja o quadrilátero ABCD:

Quadilátero ABCD:

• Vértices: A, B, C, D
• Lados: AB, BD, CD, CA
• Diagonais: AD, BC

Ângulos internos: A, B, C, D.

Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exatamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de trapézios.

[editar]Tipos de Trapézios

• Trapézio Isósceles: Os lados opostos não paralelos são congruentes (de mesmo comprimento), os lados opostos paralelos não são congruentes e apresenta um eixo de simetria;
• Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°,e não tem um eixo de simetria;
• Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes.

mas não pode ser colocado antes do 0.

[editar]Paralelogramos

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelograma. Um paralelograma apresenta as seguintes características:

• A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
• As diagonais cortam-se no ponto médio;
• Os lados opostos são congruentes;
• Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramas.

[editar]Tipos de Paralelogramos

• Paralelograma Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
• Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; As diagonais são congruentes.
• Losango: Todos os lados são iguais entre si; As diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. Por ser um losango e um quadrado simultaneamente, as diagonais são congruentes e perpendiculares.

  

  Elementos

   Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices:  A, B, C, e D. Lados:  Diagonais:  Ângulos internos ou ângulos do quadrilátero ABCD: .

   Observações

1. Todo quadrilátero tem duas diagonais.
2. O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

   Côncavos e Convexos

    Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
    Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo