Aprendendo A Matemática: 2011

terça-feira, 27 de dezembro de 2011

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1. Quadilateros

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados, cuja soma dos ângulos internos é 360°, e a soma dos ângulos externos, assim como qualquer outro polígono, é 360°. Assim como qualquer outro polígono, podemos usar a fórmula: Si = (n - 2)180 (onde "n" representa o número de lados); para achar a soma dos ângulos internos (Si). Veja o exemplo com um quadrilátero: Si = (4 - 2)180º Si = (2)180º Si = 360º

Principais Características

Os quadriláteros apresentam os seguintes elementos:

Vértices
Lados
Diagonais
Ângulos internos e externos

Em um quadrilátero, dois lados ou dois ângulos não consecutivos são chamados opostos. Veja o quadrilátero ABCD:

Quadilátero ABCD:

Vértices: A, B, C, D
Lados: AB, BD, CD, CA
Diagonais: AD, BC

Ângulos internos: A, B, C, D.

Trapézios

Um quadrilátero é considerado um trapézio se pelo menos dois dos seus lados forem paralelos. No caso de serem exatamente dois os seus lados paralelos, trata-se de um Trapézio propriamente dito.

Tipos de trapézios.

[editar]Tipos de Trapézios

Trapézio Isósceles: Os lados opostos não paralelos são congruentes (de mesmo comprimento), os lados opostos paralelos não são congruentes e apresenta um eixo de simetria;
Trapézio Retângulo: Contem dois ângulos de 90°,e não tem um eixo de simetria;
Trapézio Escaleno: Todos os lados são diferentes.

mas não pode ser colocado antes do 0.

[editar]Paralelogramos

Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

Se todos os lados opostos forem iguais e paralelos, trata-se de um Paralelograma. Um paralelograma apresenta as seguintes características:

A soma de dois ângulos consecutivos é de 180°;
As diagonais cortam-se no ponto médio;
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes.

Tipos de Paralelogramas.

[editar]Tipos de Paralelogramos

Paralelograma Obliquângulo: Os lados opostos são iguais entre si;
Retângulo: Possui quatro ângulos de 90°, e os lados opostos são iguais entre si; As diagonais são congruentes.
Losango: Todos os lados são iguais entre si; As diagonais são perpendiculares e são bissetrizes dos ângulos internos.

Quadrado: Possui quatro ângulos de 90°, e todos os lados são iguais entre si. Por ser um losango e um quadrado simultaneamente, as diagonais são congruentes e perpendiculares.

Elementos

Na figura abaixo, temos:

Quadrilátero ABCD

Vértices: A, B, C, e D.
Lados:

Diagonais:

Ângulos internos ou ângulos do
quadrilátero ABCD:

Observações

Todo quadrilátero tem duas diagonais.
O perímetro de um quadrilátero ABCD é a soma das medidas de seus lados, ou seja: AB + BC + CD + DA.

Côncavos e Convexos

Os quadriláteros podem ser convexos ou côncavos.
Um quadrilátero é convexo quando a reta que une dois vértices consecutivos não encontra o lado formado pelos dois outros vértices.

Quadrilátero convexo

Quadrilátero côncavo

quarta-feira, 30 de novembro de 2011

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1. TRIÂNGULOS
Aqui tem tudo para você saber e estudar em detalhes os polígonos mais simples:os Triângulos
ELEMENTOS DO TRIÂNGULO

O triângulo é um polígono com três lados. Os três pontos não colineares são os vértices do triângulo: A, B e C.

As linhas que os unem são oslados do triângulo: [AB], [BC] e [AC]. Um vértice e o lado (oposto) que o não contém dizem-se opostos: o lado a é oposto a A. O lado b é oposto ao lado B e o lado c é oposto a C.
Os ângulos internos do triângulo são os ângulos cujos vértices são os vértices do triângulo e os lados contêm os lados do triângulo. Assim temos três ângulos internos: ângulo ABC, ângulo ACB e ângulo BAC.
	Há ainda a considerar os ângulos formados por cada lado e pelo prolongamento do outro lado, são os ângulos externos do triângulo: α, β e γ.

2. CLASSIFICAÇAO DO TRIÂNGULO
classificaçao
podemos classificar um triângulo pelas medidas dos lados ou dos ângulos internos.
você já viu que, quanto ás medidas dos lados, os triângulos se classificam em isósceles,equilátero ou escaleno.
a) triângulos isósceles são triângulos que possuem dois lados congruentes.
o triângulo ABC ao lado é isósceles, pois AB e AC.
num triângulos isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado de ângulo do vértice; o lado oposto a esse ângulo é chamado de base; e os ângulos adjacentes à base são chamados de ângulos da base. no triânguloABC, o ângulo do vértice é Â, a base é o lado BC, e os ângulos da base são B e C.
b) triângulos equiláteros são triângulos que possuem os três lados congruentes.
Assim, todo triângulo equilátero tem dois lados congruentes. logo, todo triângulo equilatero é também um triângulo isósceles. o triângulo ABC ao lado é equilátero,pois AB,AC e BC
c) triângulos escalenos são triângulos que nao possuem lados congruentes.
o triângulo ABC ao lado lado é escaleno, pois nao possui lados congruentes.
Quanto ás medidas dos ângulos,os triângulos se classificam em ocutângulo,obtusângulo ou retângulo.
d)triângulos acutângulos são triângulos que possuem os três ângulos internos agudos.
e)triângulos obusângulos são triângulos que possuem um ângulo interno obtuso.
f)triângulos retângulos são triângulos que possuem um ângulo interno reto.
num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os outros dois lados sao chamados de catetos. no triângulo ao lado, os catetos são AB E BC, e a hipotenusa é AC.

quinta-feira, 22 de setembro de 2011

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produtos notaveis
Quadrado da soma de dois termos

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2 \,$ .

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplos:

$\left( \frac{4x}{5y}+z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2$
$(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,$

[editar]Quadrado da diferença de dois termos

A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela:

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo

$(x - y)^2 = (x -y) . (x - y) = x^2 - xy - yx + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 \,$

Exemplos:

$\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{6mp}{4n}+p^2$
$(1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,$

[editar]Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a + b).(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2=a^2-b^2 \,$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

Exemplos:

$(a^2+b^3).(a^2-b^3)=a^4-b^6 \,$
$\left( \frac{a}{x}-2 \right ).\left( \frac{a}{x}+2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-4$

[editar]Cubo da diferença de dois termos

$(x - y)^3=(x - y).(x - y).(x - y) \,$
$= (x - y).(x - y)^2 \,$
$= (x - y).(x^2 - 2xy + y^2) \,$
$= x^3 - 2(x^2)y + xy^2 - yx^2 + 2xy^2 - y^3 \,$
$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,$

Exemplos:

$(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3\,$
$\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}\,$
$(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3\,$