Aprendendo A Matemática: setembro 2011

produtos notaveis
Quadrado da soma de dois termos

$(a+b)^2= a^2+2ab+b^2 \,$ .

Regra básica: Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo.

Exemplos:

$\left( \frac{4x}{5y}+z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2$
$(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,$

[editar]Quadrado da diferença de dois termos

A expressão diferença do quadrado da soma apenas pelo sinal da segunda parcela:

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo , mais o quadrado do segundo

$(x - y)^2 = (x -y) . (x - y) = x^2 - xy - yx + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 \,$

Exemplos:

$\left( \frac{3m}{4n}-p \right )^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{6mp}{4n}+p^2$
$(1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,$

[editar]Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a + b).(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2=a^2-b^2 \,$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo

Exemplos:

$(a^2+b^3).(a^2-b^3)=a^4-b^6 \,$
$\left( \frac{a}{x}-2 \right ).\left( \frac{a}{x}+2 \right )=\frac{a^2}{x^2}-4$

[editar]Cubo da diferença de dois termos

$(x - y)^3=(x - y).(x - y).(x - y) \,$
$= (x - y).(x - y)^2 \,$
$= (x - y).(x^2 - 2xy + y^2) \,$
$= x^3 - 2(x^2)y + xy^2 - yx^2 + 2xy^2 - y^3 \,$
$= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,$

Exemplos:

$(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3\,$
$\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}\,$
$(1-x)^3=1-3x+3x^2-x^3\,$